Ejercicios de sistema de ecuaciones: Domina la igualación

1. Introducción a los sistemas de ecuaciones

- ¿Qué es un sistema de ecuaciones?

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que se resuelven simultáneamente para encontrar los valores de las variables que las satisfacen. Cada ecuación en el sistema representa una relación entre las variables involucradas y la solución del sistema es el conjunto de valores que hacen que todas las ecuaciones sean verdaderas al mismo tiempo.

- Tipos de sistemas de ecuaciones

Existen diferentes tipos de sistemas de ecuaciones, dependiendo del número de soluciones que pueden tener. Algunos ejemplos son:
- Sistemas compatibles determinados: tienen una única solución.
- Sistemas compatibles indeterminados: tienen infinitas soluciones.
- Sistemas incompatibles: no tienen solución.

2. Método de igualación

- ¿En qué consiste el método de igualación?

El método de igualación es una técnica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en igualar una variable en ambas ecuaciones y luego resolver la ecuación resultante para encontrar el valor de dicha variable. Una vez obtenido el valor de una variable, se sustituye en una de las ecuaciones originales para determinar el valor de la otra variable.

- Pasos para resolver un sistema de ecuaciones por igualación

Los pasos para resolver un sistema de ecuaciones por igualación son los siguientes:
1. Selecciona dos ecuaciones del sistema y elige una variable para igualar en ambas ecuaciones.
2. Resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de la variable elegida.
3. Sustituye el valor obtenido en una de las ecuaciones originales y resuelve para encontrar el valor de la otra variable.
4. Verifica la solución encontrada sustituyendo los valores de las variables en todas las ecuaciones originales.

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3. Ejercicios básicos de sistema de ecuaciones por igualación

- Ejercicio 1

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación:
```
2x + y = 5
3x - 2y = 4
```
Primero, igualamos la variable x:
```
2x + y = 5
2x + y = 5
```
Resolvemos la ecuación resultante:
```
2x + y = 5
2x = 5 - y
x = (5 - y) / 2
```
Sustituimos el valor de x en una de las ecuaciones originales, por ejemplo, en la primera ecuación:
```
2(5 - y) / 2 + y = 5
5 - y + y = 5
5 = 5
```
La ecuación es verdadera, por lo tanto, la solución del sistema es x = 5 - y.

- Ejercicio 2

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación:
```
3x - y = 2
2x + 2y = 7
```
Igualamos la variable y:
```
3x - y = 2
2x + 2y = 7
```
Resolvemos la ecuación resultante:
```
3x - y = 2
-y = 2 - 3x
y = 3x - 2
```
Sustituimos el valor de y en una de las ecuaciones originales, por ejemplo, en la primera ecuación:
```
3x - (3x - 2) = 2
3x - 3x + 2 = 2
2 = 2
```
La ecuación es verdadera, por lo tanto, la solución del sistema es y = 3x - 2.

- Ejercicio 3

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación:
```
4x - 3y = 1
2x + y = 5
```
Igualamos la variable y:
```
4x - 3y = 1
2x + y = 5
```
Resolvemos la ecuación resultante:
```
4x - 3y = 1
y = 5 - 2x
```
Sustituimos el valor de y en una de las ecuaciones originales, por ejemplo, en la primera ecuación:
```
4x - 3(5 - 2x) = 1
4x - 15 + 6x = 1
10x - 15 = 1
10x = 16
x = 16/10
x = 8/5
```
Sustituimos el valor de x en la ecuación para encontrar y:
```
2(8/5) + y = 5
16/5 + y = 5
y = 5 - 16/5
y = 25/5 - 16/5
y = 9/5
```
La solución del sistema es x = 8/5 y y = 9/5.

4. Ejercicios avanzados de sistema de ecuaciones por igualación

- Ejercicio 4

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación:
```
x + y = 3
3x - 2y = 4
```
Igualamos la variable y:
```
x + y = 3
3x - 2y = 4
```
Resolvemos la ecuación resultante:
```
x + y = 3
y = 3 - x
```
Sustituimos el valor de y en una de las ecuaciones originales, por ejemplo, en la segunda ecuación:
```
3x - 2(3 - x) = 4
3x - 6 + 2x = 4
5x - 6 = 4
5x = 10
x = 10/5
x = 2
```
Sustituimos el valor de x en la ecuación para encontrar y:
```
2 + y = 3
y = 3 - 2
y = 1
```
La solución del sistema es x = 2 y y = 1.

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- Ejercicio 5

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación:
```
2x + y = 4
3x - 2y = 1
```
Igualamos la variable y:
```
2x + y = 4
3x - 2y = 1
```
Resolvemos la ecuación resultante:
```
2x + y = 4
y = 4 - 2x
```
Sustituimos el valor de y en una de las ecuaciones originales, por ejemplo, en la segunda ecuación:
```
3x - 2(4 - 2x) = 1
3x - 8 + 4x = 1
7x - 8 = 1
7x = 9
x = 9/7
```
Sustituimos el valor de x en la ecuación para encontrar y:
```
2(9/7) + y = 4
18/7 + y = 4
y = 4 - 18/7
y = (28 - 18)/7
y = 10/7
```
La solución del sistema es x = 9/7 y y = 10/7.

- Ejercicio 6

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación:
```
x + 2y = 5
3x - 4y = 7
```
Igualamos la variable y:
```
x + 2y = 5
3x - 4y = 7
```
Resolvemos la ecuación resultante:
```
x + 2y = 5
y = (5 - x) / 2
```
Sustituimos el valor de y en una de las ecuaciones originales, por ejemplo, en la segunda ecuación:
```
3x - 4((5 - x) / 2) = 7
3x - 10 + 2x = 7
5x - 10 = 7
5x = 17
x = 17/5
```
Sustituimos el valor de x en la ecuación para encontrar y:
```
(17/5) + 2y = 5
17/5 + 2y = 25/5
2y = 25/5 - 17/5
2y = 8/5
y = 4/5
```
La solución del sistema es x = 17/5 y y = 4/5.

5. Consejos y trucos para resolver sistemas de ecuaciones por igualación de manera eficiente

- Antes de aplicar el método de igualación, verifica si alguna de las ecuaciones del sistema ya está resuelta para una de las variables. En ese caso, puedes sustituir directamente el valor de la variable en la otra ecuación y resolverla más rápidamente.
- Si las ecuaciones tienen coeficientes fraccionarios, puedes simplificar los cálculos multiplicando todas las ecuaciones por el denominador común.
- Si el sistema tiene más de dos ecuaciones, puedes seleccionar cualquier par de ecuaciones para igualar las variables y luego repetir el proceso con las otras ecuaciones hasta obtener todas las soluciones.

6. Conclusiones

El método de igualación es una técnica efectiva para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Siguiendo los pasos adecuados y aplicando algunos trucos, puedes resolver sistemas de ecuaciones de manera eficiente. Recuerda verificar siempre la solución encontrada sustituyendo los valores de las variables en todas las ecuaciones originales. Practica con diferentes ejercicios para dominar el método de igualación y resolver sistemas de ecuaciones con facilidad.

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