Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales

1. Introducción

El método de eliminación Gauss-Jordan es una técnica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la manipulación de matrices. Este método es una extensión del método de eliminación de Gauss, que busca convertir una matriz en una forma escalonada mediante operaciones elementales. Sin embargo, el método de Gauss-Jordan lleva este proceso un paso más allá, convirtiendo la matriz escalonada en una matriz reducida por filas.

1.1 Definición de matrices

Antes de adentrarnos en el método de Gauss-Jordan, es importante comprender qué son las matrices. Una matriz es una estructura rectangular compuesta por números dispuestos en filas y columnas. Cada número de la matriz se conoce como elemento. Por ejemplo, una matriz A de tamaño m x n se representa de la siguiente manera:

A = [a_ij]

Donde i representa la fila y j representa la columna de cada elemento a_ij.

1.2 Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que se resuelven simultáneamente. Cada ecuación del sistema representa una relación lineal entre las variables del sistema. Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1
a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2
...
a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m

Donde x_1, x_2, ..., x_n son las variables del sistema, a_ij son los coeficientes de las variables y b_i son los términos independientes.

1.3 Método de eliminación Gauss-Jordan

El método de eliminación Gauss-Jordan es una técnica que permite resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando operaciones elementales en las filas de una matriz. El objetivo de este método es convertir una matriz en una forma escalonada y luego en una forma reducida por filas.

El proceso de eliminación Gauss-Jordan se basa en tres operaciones elementales:

1. Intercambio de filas: consiste en intercambiar dos filas de la matriz.
2. Multiplicación de una fila por un escalar no nulo: consiste en multiplicar todos los elementos de una fila por un número diferente de cero.
3. Suma de una fila multiplicada por un escalar a otra fila: consiste en multiplicar una fila por un número diferente de cero y sumarla a otra fila.

Estas operaciones se aplican de manera sistemática hasta obtener una matriz reducida por filas, donde los elementos fuera de la diagonal principal son cero y los elementos de la diagonal principal son uno.

2. Pasos para aplicar el método de Gauss-Jordan

Ahora que entendemos los conceptos básicos, veamos los pasos para aplicar el método de Gauss-Jordan:

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2.1 Paso 1: Crear la matriz ampliada

En este paso, creamos una matriz ampliada que incluya tanto los coeficientes de las variables como los términos independientes del sistema de ecuaciones lineales. Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2x + 3y - z = 5
3x - 2y + 2z = 3
x + y - z = -1

La matriz ampliada correspondiente sería:

[2 3 -1 | 5]
[3 -2 2 | 3]
[1 1 -1 | -1]

2.2 Paso 2: Convertir la matriz ampliada en una matriz escalonada

En este paso, aplicamos las operaciones elementales para convertir la matriz ampliada en una forma escalonada. El objetivo es obtener ceros por debajo de la diagonal principal. Siguiendo con el ejemplo anterior, aplicamos las operaciones elementales para obtener la siguiente matriz escalonada:

[1 1 -1 | -1]
[0 5 -5 | 8]
[0 0 1 | 4]

2.3 Paso 3: Convertir la matriz escalonada en una matriz reducida por filas

En este último paso, aplicamos las operaciones elementales para obtener una matriz reducida por filas. El objetivo es obtener unos en la diagonal principal y ceros por encima y por debajo de la diagonal principal. Siguiendo con el ejemplo anterior, aplicamos las operaciones elementales para obtener la siguiente matriz reducida por filas:

[1 0 0 | 3]
[0 1 0 | -1]
[0 0 1 | 4]

La matriz reducida por filas nos da la solución del sistema de ecuaciones lineales. En este caso, x = 3, y = -1 y z = 4.

3. Ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales usando Gauss-Jordan

Ahora veamos un ejemplo paso a paso de cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss-Jordan.

3.1 Ejemplo paso a paso

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2x + y - z = 8
x - y + z = 3
3x - 2y + 2z = 6

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Paso 1: Crear la matriz ampliada:

[2 1 -1 | 8]
[1 -1 1 | 3]
[3 -2 2 | 6]

Paso 2: Convertir la matriz ampliada en una matriz escalonada:

[1 -1 1 | 3]
[0 3 -3 | 5]
[0 0 0 | 0]

Paso 3: Convertir la matriz escalonada en una matriz reducida por filas:

[1 0 0 | 2]
[0 1 -1 | 1]
[0 0 0 | 0]

La matriz reducida por filas nos da la solución del sistema de ecuaciones lineales. En este caso, x = 2, y = 1 y z es una variable libre.

3.2 Interpretación de los resultados obtenidos

En el ejemplo anterior, encontramos que x = 2, y = 1 y z es una variable libre. Esto significa que hay infinitas soluciones para el sistema de ecuaciones lineales. La variable z puede tomar cualquier valor y las variables x e y están determinadas por el valor de z.

4. Ventajas y desventajas del método de Gauss-Jordan

4.1 Ventajas

- El método de Gauss-Jordan es una técnica sistemática y eficiente para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
- Permite encontrar todas las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, incluso cuando hay variables libres.
- El método es muy útil en aplicaciones prácticas que involucran el análisis de sistemas de ecuaciones lineales.

4.2 Desventajas

- El método de Gauss-Jordan puede ser computacionalmente costoso cuando se trata de matrices grandes.
- Si la matriz ampliada no es invertible, el método de Gauss-Jordan no puede ser aplicado.

5. Conclusiones

El método de eliminación Gauss-Jordan es una poderosa herramienta para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Permite encontrar todas las soluciones posibles y es ampliamente utilizado en diversas áreas, como la física, la ingeniería y la economía. Sin embargo, es importante tener en cuenta las limitaciones del método y considerar otras técnicas cuando se enfrenta a problemas más complejos.

6. Referencias

- Anton, H., & Rorres, C. (2010). Álgebra lineal con aplicaciones. Limusa.
- Strang, G. (2006). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.

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