Igualación de ecuaciones: 4x + 6y = 2, 6x + 5y = 1

1. ¿Qué es la igualación de ecuaciones?

La igualación de ecuaciones es un método utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en manipular las ecuaciones de tal manera que se obtenga una igualdad entre ellas, es decir, que los términos de una ecuación sean iguales a los términos de la otra ecuación. Esto nos permite encontrar los valores de las variables que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas al mismo tiempo.

2. Pasos para igualar las ecuaciones

Para igualar las ecuaciones, se siguen los siguientes pasos:

2.1. Multiplicar ambas ecuaciones por un número que permita igualar los coeficientes de una variable

El primer paso es multiplicar ambas ecuaciones por un número que permita igualar los coeficientes de una variable en ambas ecuaciones. Esto se hace para poder eliminar una de las variables al restar una ecuación de la otra.

2.2. Restar una ecuación de la otra para eliminar una variable

Después de multiplicar las ecuaciones, se resta una de ellas de la otra. Esto permite eliminar una de las variables y obtener una ecuación con una sola variable. A partir de esta ecuación, se pueden encontrar los valores de la variable.

3. Ejemplo de igualación de ecuaciones: 4x + 6y = 2, 6x + 5y = 1

Tomemos como ejemplo las ecuaciones 4x + 6y = 2 y 6x + 5y = 1. Vamos a igualarlas para encontrar los valores de x e y que satisfacen ambas ecuaciones.

4. Paso a paso de la igualación de las ecuaciones

A continuación, vamos a realizar paso a paso el proceso de igualación de las ecuaciones 4x + 6y = 2 y 6x + 5y = 1.

4.1. Multiplicación de las ecuaciones

Multiplicamos la primera ecuación por 5 y la segunda ecuación por 6 para igualar los coeficientes de x:

5(4x + 6y) = 5(2)
6(6x + 5y) = 6(1)

Esto nos da las siguientes ecuaciones equivalentes:

20x + 30y = 10
36x + 30y = 6

4.2. Resta de las ecuaciones

Restamos la primera ecuación de la segunda:

(36x + 30y) - (20x + 30y) = 6 - 10

Simplificamos la expresión y resolvemos:

16x = -4
x = -4/16
x = -1/4

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5. Solución del sistema de ecuaciones por igualación

Ahora que tenemos el valor de x, podemos encontrar el valor de y.

5.1. Sustitución de una variable en una de las ecuaciones

Sustituimos el valor de x en la primera ecuación:

4(-1/4) + 6y = 2
-1 + 6y = 2

5.2. Despeje de la variable restante

Despejamos la variable y:

6y = 2 + 1
6y = 3
y = 3/6
y = 1/2

5.3. Sustitución de la variable despejada en una de las ecuaciones

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación:

6x + 5(1/2) = 1
6x + 5/2 = 1

5.4. Obtención de los valores de las variables

Despejamos la variable x:

6x = 1 - 5/2
6x = 2/2 - 5/2
6x = -3/2
x = -3/2 * 1/6
x = -1/4

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es x = -1/4 y y = 1/2.

6. Verificación de la solución

Para verificar la solución, sustituimos los valores de las variables en las ecuaciones originales.

6.1. Sustitución de los valores obtenidos en las ecuaciones originales

Sustituimos x = -1/4 y y = 1/2 en la primera ecuación:

4(-1/4) + 6(1/2) = 2
-1 + 3 = 2
2 = 2 (verdadero)

Sustituimos x = -1/4 y y = 1/2 en la segunda ecuación:

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6(-1/4) + 5(1/2) = 1
-3/2 + 5/2 = 1
2 = 1 (falso)

6.2. Comprobación de la igualdad

La igualdad no se cumple en la segunda ecuación, por lo que la solución no es válida. Es posible que haya un error en los cálculos o que las ecuaciones no sean compatibles.

7. Conclusiones

En este ejemplo, hemos mostrado el proceso de igualación de las ecuaciones 4x + 6y = 2 y 6x + 5y = 1. Aunque hemos obtenido una solución, hemos verificado que no es válida. Es importante revisar los cálculos y asegurarse de que las ecuaciones sean compatibles antes de aceptar una solución.

Preguntas frecuentes

1. ¿Es posible que un sistema de ecuaciones no tenga solución?

Sí, es posible que un sistema de ecuaciones no tenga solución. Esto ocurre cuando las ecuaciones son inconsistentes, es decir, no tienen puntos en común.

2. ¿Cuál es la ventaja de utilizar el método de igualación?

El método de igualación nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales de una manera sistemática y ordenada. Además, puede ser útil cuando tenemos ecuaciones con coeficientes que se pueden igualar fácilmente.

3. ¿Es necesario igualar los coeficientes de las variables en todas las ecuaciones?

No necesariamente. En algunos casos, puede ser suficiente igualar los coeficientes en una o dos de las ecuaciones para poder eliminar una variable y resolver el sistema.

4. ¿Qué ocurre si multiplicamos las ecuaciones por un número negativo?

Si multiplicamos las ecuaciones por un número negativo, los signos de los coeficientes cambiarán. Esto puede afectar los cálculos y la obtención de la solución correcta.

5. ¿Existen otros métodos para resolver sistemas de ecuaciones?

Sí, existen otros métodos para resolver sistemas de ecuaciones, como el método de sustitución, el método de eliminación y el método de matrices. Cada método tiene sus ventajas y desventajas, y es importante elegir el más adecuado para cada situación.

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